Zadanie maturalne 3. Bogdan: Zadanie maturalne 3. Suma kolejnych liczb naturalnych jest równa 2009. Wyznaczyć wartość najmniejszej oraz największej liczby tej sumy, jeśli w uporządkowanym ciągu tych liczb środkowa liczba jest równa: a) 41; b) 49.

Michał Szczotka:): widzę że ci się spodobała ta liczba 2009

♊: z tego co widzę to bardzo proste ciągi macie − do dzieła maturzyści ;)

♊: Michał Szczotka − zadania przygotowawcze do matury 2009 w końcu, nie ?

Michał Szczotka:): dam się wykazać innym może bo to jest akurat proste

Mickej: Już wole Mickej

♊: tak tak, nie wiesz jak to zrobić i dlatego tak piszesz !

Mickej: wystarczy ci jeśli zapisze

	a1+an
2009=		n
	2

	a1+an
41=
	2

Mickej: drażni mnie taki tekst "tak tak, nie wiesz jak to zrobić i dlatego tak piszesz ! "

Mickej: ale skoro taki mocny jesteś to masz Figura płaska f przechodzi na siebie w obrocie o kąt o mierze 19. Udowodnij , że figura f przechodzi na siebie w obrocie o kąt o mierze 2

Bogdan: Chcę pokazać, że każda liczba jest ciekawa. To zadanie w wersji trudniejszej jest następujące: Wyznaczyć wszystkie ciągi kolejnych liczb naturalnych, których suma jest równa 2009. Wskazałem dwa ciągi, zapraszam do znalezienia pozostałych.

♊: Jeżeli prawdą jest, ze figura przechodzi na siebie w obrocie o kąt 19^o, to przechodzi też na siebie w obrocie o kąt 361^o ergo przechodzi na siebie co 1 stopień. Suma sumarum figura przechodzi na siebie w obrocie o k^o, k∊ℤ 2 ∊ k ∎ Tak własciwie to zwykła całka jest trudniejsza ;) Skoro taki tekst Cię drażni to ciekaw jestem jak zareagujesz na konieczność wpisywania peselu oraz daty urodzenia, skoro data urodzenia zawiera się w numerze PESEL . . .

Mickej: Pałuj się studenciaku

♊: Dla Twojej wiadomości − nei napisałem nic, co powinieneś uznać za obraźliwe. Całki miałem już w liceum. Najprawdopodobniej za rok (tego Ci życze) do Ciebie ktoś może rzucić podobnym tekstem. A zadanie bardzo ciekawe, skąd je wziąłeś ?

♊: PS. Mnie tam bardzo irytował fakt, że musiałem wszedzie pisać datę urodzenia i PESEL − nie lubię pisać 2 razy tego samego :P

Mickej: 2009={a₁+a_n}{2}n 4018=(a₁+a_n)n

4018
	=a1+an więc te ciągi będą n element owe gdzie n≥3 i n jest dzielnikiem
n

całkowitym liczby 4018

Mickej: zapomniałem U

Mickej: a dalej to już prosto

♊: Mickej: Dla n = 2 a₁ = 1004 a₂ = 1005

Mickej: ale to nie ciąg to przecież powinieneś wiedzieć

♊: Ciągiem nazywamy fnkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych. a₁ jest podane r=1 Więc ani chybi jest to ciąg arytmetyczny dwuelementowy

Mickej: Ciąg nie musi być przypadkiem minimum 3 element owy

♊: Pierwsza lepsza strona http://matma4u.akcja.pl/twierdzenia/rozniczki/ca.htm Zawiera wzór

	an−1+an+1
an =		dla n ≥ 2
	2

Na tej podstawie śmiem twierdzić, że ciąg może być 2 elementowy.

Mickej: niech ci bedzie

Mickej: ale i tak pewnie ty tą stronkę napisałeś

♊: Ej, żeby nie było − ja nie pisze tego, żeby być złośliwym, żeby nie było. Po prostu uważam, ze Twoja odpowiedź była niepełna i chciałem ją skorygować ;)

♊: Nie jestem niejakim Tomaszem Krupińskim, który jest wymieniony jako autor strony. No i nie pisałbym strony w Wordzie . . .

Mickej: Fakt faktem strona obciachowa nawet ja lepsze robię ty to w ogóle jakiś dziwny jesteś

♊: Na interii stron nie robię. Nie korzystam z nielegalnego oprogramowania (dziwne, nie?), a na MS Office nie widze sensu wydawać pieniędzy, skoro ooffice się spisuje świetnie na Debianie. Z mojej strony EOT bo zdaje mi się, że odbiegliśmy od meritum . . .

Mickej: no dziwne ja tylko takie mam no w sumie Windowsa mam oryginalnego no i Gre CS też. ty dziwnie gadasz jak bym nauczyciela słyszał

Bogdan: Jestem rozczarowany, bo mimo opinii tu wyrażonej przez jednego z rozmówców, że zadanie jest proste, nikt nie podał rozwiązania podpunktu a) i b). Podbijam ten post, bo może zadanie kogoś zainteresuje. W innym poście zamieszczam kolejne zadanie liczbą 2009.

Mateusz: Bogdan sprawdz wyszlo mi tak a) min−17 max−65 b)min−29 max−69

Mickej: podaliśmy rozwiązanie podpunktu c)

Bogdan: Dobrze Mateuszu. Myślę, ze warto pokazać jednak pełne rozwiązanie. a) Ciąg arytmetyczny (a_n):

	n + 1
Sn = 2009, ak = 41 − środkowy wyraz ciągu, k =		, r = 1 − stała różnica,
	2

Na podstawie własności ciągu arytmetycznego: 2a_k = a₁ + a_n => a₁ + a_n = 82

	1		1
Sn =		n(a1 + an) => 2009 =		* n * 82 => n = 49
	2		2

	49 + 1
k =		= 25, a25=41
	2

a₂₅ = a₁ + 24*1 => a₁ = 41 − 24 = 17, a₄₉ = a₁ + 48 *1 => a₄₉ = 17 + 48 = 65 Podobnie rozwiązuje się przykład b). Pozostałe ciągi arytmetyczne spełniające warunek: S_n = 2009, r = 1, a_n € N to: c) a₁ = 1404, a₂ = 1405; d) a₁ = 284, a₇ = 290